Plato delgado spline

Esto es una breve derivación para las soluciones de la forma cerradas para el allanamiento Plato Delgado Spline. Los detalles sobre estos splines se pueden encontrar en (Wahba, 1990).

Plato delgado splines (TPS) fue introducido en el diseño geométrico por Duchon (Duchon, 1976). El nombre plato delgado spline se refiere a una analogía física que implica la flexión de una hoja delgada de metal. En el ajuste físico, la desviación está en la dirección, ortogonal al avión. A fin de aplicar esta idea del problema de la transformación coordinativa, uno interpreta el levantamiento del plato como un desplazamiento del o coordina dentro del avión. En 2dos casos, considerando un juego de puntos correspondientes, el urdimbre de TPS es descrito por parámetros que incluyen 6 parámetros de movimiento affine globales y coeficientes para correspondencias de los puestos de control. Estos parámetros se calculan solucionando un sistema lineal, en otras palabras, TPS ha cerrado la solución en forma de.

El allanamiento TPS es TPS regularizado. El modelo tiene un parámetro para controlar cómo no rígido se permite para la deformación.

Función de base radial

Considerando un juego de puestos de control, una función de base radial básicamente define una correlación espacial que traza un mapa de cualquier posición en el espacio a una nueva posición, representada por,

:

f (x) = \sum_ {yo = 1} ^K c_ {yo }\\varphi (\left \| x - w_ {yo }\\derecho \|)

</matemáticas>

donde denota la norma Euclidiana habitual y es un juego de trazar un mapa de coeficientes.

Una opción posible para la función del grano es el plato delgado spline. Tiene una naturaleza más global que el grano de Gaussian, que es otra función común - una pequeña perturbación de uno de los puestos de control siempre afecta los coeficientes correspondiente a todos los otros puntos también. Note que un plato delgado spline generalmente se entiende como una función que minimiza la integral del segundo derivado cuadriculado, típicamente en dos dimensiones. Esto equivale al grano de la base radial. Otras opciones del grano de la base radial producen la interpolación que normalmente no se describiría como un plato delgado spline. Por ejemplo el grano de Gaussian equivale a la minimización de una suma infinita de términos derivados.

Plato delgado spline

Medida de suavidad

Una de las medidas de suavidad más simples es la integral espacial del cuadrado de los segundos derivados de pedido de la función de correlación. Esto nos lleva a plato delgado spline (TPS). El TPS encaja una función de correlación entre juegos del punto correspondientes y minimizando la función de la energía siguiente:

:

E = \iint\left [\left (\frac {\\partial^2 f} {\\x^2 }parcial \\derecho) ^2 + 2\left (\frac {\\partial^2 f} {\\xy parcial }\\derecho) ^2 + \left (\frac {\\partial^2 f} {\\y^2 }parcial \\derecho) ^2 \right] \textrm {d} x \, \textrm {d} y

</matemáticas>

Y para un allanamiento TPS, es

:

E_ {tps} = \sum_ {i=1} ^K \|y_i - f (x_i) \| ^2 + \lambda \iint\left [\left (\frac {\\partial^2 f} {\\x^2 }parcial \\derecho) ^2 + 2\left (\frac {\\partial^2 f} {\\x parcial \partial y }\\derecho) ^2 + \left (\frac {\\partial^2 f} {\\y^2 }parcial \\derecho) ^2 \right] \textrm {d} x \, \textrm {d} y

</matemáticas>

Entonces el allanamiento TPS se define como

:

f_ {tps} = \arg\min_f E_ {tps }\

</matemáticas>

Para este problema variational, se puede mostrar que allí existe minimizer único (Wahba, 1990) con un parámetro del peso fijo que se presenta en la siguiente sección. El elemento finito discretization de este problema variational, el método de mapas elásticos, se usa para minería de datos y reducción de dimensionalidad no lineal.

Spline

Suponga que los puntos están en el 2do (D = 2). Uno puede usar coordenadas homogéneas para el puesto al punto donde un punto se representa como un vector. Minimizer único se da parámetros por que comprende dos matrices y .

:

f_ {tps} (z, \alpha) = f_ {tps} (z, d, c) = z\cdot d + \sum_ {yo = 1} ^K \phi (\| z - x_i \|)\cdot c_i

</matemáticas>

donde d es una matriz que representa la transformación affine y c es una matriz del coeficiente que se alabea representación de la deformación non-affine. La función del grano es un vector para cada punto, donde cada entrada para 2 dimensiones. Note que para TPS, los puestos de control se eligen para ser lo mismo como el juego de puntos para alabearse, por tanto ya usamos en el lugar de los puestos de control.

Si uno substituye la solución por, se hace:

:

E_ {tps} (d, c) = \|Y - Xd - \Phi c \|^2 + \lambda \textrm {Tr} (c^T\Phi c)

</matemáticas>

donde y son versiones sólo concadenadas de las coordenadas del punto y, y es una matriz formada del. Cada fila de cada matriz recién formada viene de uno de los vectores originales. La matriz representa el grano TPS. Sueltamente hablando, el grano TPS contiene la información sobre las relaciones estructurales internas del juego del punto. Cuando se combina con los coeficientes que se alabean, alabearse no rígido se genera.

Una propiedad agradable del TPS consiste en que siempre se puede descomponer en affine global y un componente non-affine local. Por consiguiente, el término de suavidad TPS es únicamente dependiente de los componentes non-affine. Esto es una propiedad deseable, sobre todo cuando comparado con otro splines, ya que los parámetros de la postura globales incluidos en la transformación affine no se castigan.

Solución

La separación del affine y non-affine espacio que se alabea se hace a través de una descomposición QR (Wahba, 1990).

:

X = [Q_1 | Q_2] \left (

\begin {serie} {centímetros cúbicos }\

R \\

0

Los \end {ponen en orden }\

\right)

</matemáticas>

donde Q1 y Q2 son y orthonormal matrices, respectivamente. La matriz es superior triangular.

Con la descomposición QR en el lugar, tenemos

:

E_ {tps} (\gamma, d) = \|Q_2^T Y - Q_2^T\Phi Q_2 \gamma \|^2 + \|Q_1^T Y - rutherford - Q_1^T\Phi Q_2 \gamma \|^2 + \lambda \textrm {rastro} (\gamma^T Q_2^T \Phi Q_2 \gamma)

</matemáticas>

donde está una matriz. El ajuste (que por su parte implica que) nos permite separar limpiamente el primer término en la última tercera ecuación en un término de non-affine y un término de affine (primeros y segundos términos última ecuación respectivamente).

La función de la energía de menores-cuadrados en la última ecuación se puede minimizar primero w.r.t y luego w.r.t.. Aplicando la regularización de Tikhonov tenemos

:

\hat {c} = Q_2 (Q_2^T\Phi Q_2 + \lambda I_ {(k-D-1)}) ^ {-1} Q_2^T Y

</matemáticas>

:

\hat {d} = R^ {-1} Q_1^T (Y - \Phi \hat {c})

</matemáticas>

El valor mínimo de la función de la energía TPS obtenida en el grado óptimo es

:

E_ {flexión} = \lambda \,\textrm {rastro} [Q_2 (Q_2^T\Phi Q_2 + \lambda I_ {(k-D-1)}) ^ {-1} Q_2^T Y Y^T]

</matemáticas>

Aplicación

TPS ha sido ampliamente usado como el modelo de transformación no rígido a la imagen

alineación y correspondencia de la forma.

La popularidad de TPS viene de varias ventajas:

  1. La interpolación es lisa con derivados de cualquier pedido.
  2. El modelo no tiene parámetros libres esa afinación del manual de la necesidad.
  3. Ha cerrado soluciones en forma de tanto para alabearse como para valoración del parámetro.
  4. Hay una explicación física de su función de la energía.

Véase también

Enlaces externos



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